23ⁿ + 5ⁿ = 0ⁿ
no ngasal
no copas
menggunakan cara
23ⁿ + 5ⁿ = 0ⁿ tidak memiliki solusi.
Pembahasan
Untuk mencari solusi dari [tex]23^n+5^n=0^n[/tex], kita bagi dalam 3 kasus.
Kasus 1: n = 0
Jika [tex]n = 0[/tex], ruas kiri = 2. Untuk ruas kanan, ada dua pendapat mengenai [tex]0^0[/tex].
- Dari sudut pandang aljabar dan matematika diskrit (setidaknya itu yang saya tahu), [tex]0^0=1[/tex]. Alasan utamanya adalah definisi [tex]\forall x: x^0=1[/tex].
- Dari sudut pandang kalkulus (limit), [tex]0^0[/tex] adalah bentuk tak tentu (indeterminate form).
Kita ambil sudut pandang pertama, yaitu [tex]0^0=1[/tex], kita peroleh bahwa ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan.
∴ Jadi, [tex]n = 0[/tex] bukan solusi.
Kasus 2: n > 0
Jika [tex]n > 0[/tex], maka ruas kanan = 0, yang mengakibatkan [tex]23^n=-(5^n)[/tex]. Berapapun nlai [tex]n[/tex], kesamaan kedua ruas tidak akan terjadi.
∴ Jadi, tidak ada solusi yang dapat ditemukan jika [tex]n > 0[/tex].
Kasus 3: n < 0
Jika [tex]n < 0[/tex], maka ruas kanan tak terdefinisi.
Alasannya: [tex]0^{-a}[/tex] sama dengan [tex]1/0^a[/tex] di mana [tex]a[/tex] sendiri adalah bilangan positif, yang artinya sama dengan [tex]1/0[/tex], dan ini tak terdefinisi.
∴ Jadi, tidak ada solusi yang dapat ditemukan jika [tex]n < 0[/tex].
KESIMPULAN
Karena untuk semua [tex]n[/tex] tidak ada solusi yang dapat ditemukan, maka dapat kita nyatakan bahwa 23ⁿ + 5ⁿ = 0ⁿ tidak memiliki solusi.
[tex]\blacksquare[/tex]
______________
Tambahan: Penyelidikan Asimtot
Jika [tex]f(n)=23^n+5^n[/tex], maka:
[tex]\begin{aligned}\bullet\ &\lim_{n\to+\infty}f(n)=\lim_{n\to+\infty}23^n+5^n\\&\quad\left[\:\textsf{$f(n)$ adalah fungsi kontinu}\:\right]\\&=23^{\left(\lim\limits_{n\to+\infty}n\right)}+5^{\left(\lim\limits_{n\to+\infty}n\right)}\\&=\infty\\\bullet\ &\lim_{n\to-\infty}f(n)=\lim_{n\to-\infty}23^n+5^n\\&\quad\left[\:\textsf{$f(n)$ adalah fungsi kontinu}\:\right]\\&=23^{\left(\lim\limits_{n\to-\infty}n\right)}+5^{\left(\lim\limits_{n\to-\infty}n\right)}\\&=0+0\\&=0\end{aligned}[/tex]
Asimtot mendatar [tex]f(n)[/tex] adalah [tex]f(n)=b[/tex] jika [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}f(n)=b[/tex] atau [tex]\lim\limits_{n\to-\infty}f(n)=b[/tex].
Jadi, asimtot mendatar dari [tex]f(n)=23^n+5^n[/tex] adalah [tex]f(n)=0[/tex].
Oleh karena itu, grafik [tex]23^n+5^n[/tex] tidak akan pernah berpotongan dengan [tex]0^n[/tex] jika [tex]n > 0[/tex]. Untuk [tex]n=0[/tex] dan [tex]n < 0[/tex], kita tahu bahwa tidak ada solusi untuk [tex]n[/tex].
∴ Dengan demikian, 23ⁿ + 5ⁿ = 0ⁿ tidak memiliki solusi.
[tex]\blacksquare[/tex]
